Question

商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5%，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．
（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；
（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343=0.2391，lgl.05=0.0212，1.05⁸=1.4774）

Answer

（1）依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，依题意有 62[1+（1+5%）+（1+5%）2+…+（1+5%）n-1]≥500（1+5%）n+1．由此能求出到2014年底可全部还清贷款．
（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，依题意有…+（1+5%）7]≥500（1+5%）9．由此能求出每生每年的最低收费标准为992元．
【解析】
（1）依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．
设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，
则公寓每年收费总额为1000×800（元）=800000（元）=80万元，
扣除18万元，可偿还贷款62万元．
依题意有 62[1+（1+5%）+（1+5%）2+…+（1+5%）n-1]≥500（1+5%）n+1．
化简得62（1.05n-1）≥25×1.05n+1．
∴1.05n≥1.7343．
两边取对数整理得．
∴取n=12（年）．
∴到2014年底可全部还清贷款．
（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，
因到2010年底公寓共使用了8年，
依题意有…+（1+5%）7]≥500（1+5%）9．
化简得．
∴（元）
故每生每年的最低收费标准为992元．