Question

已知数列{a_n}中，（n≥2，n∈N⁺），数列{b_n}，满足（n∈N⁺）
（1）求证数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）记S_n=b₁+b₂+…+b_n，求．

Answer

（1）由题意可求得，从而有，利用等差数列的定义即可证数列{bn}是等差数列；
（2）由（1）可求得bn=n-3.5，从而求得，构造函数，利用导数研究其单调性，从而可求数列{an}中的最大项与最小项；
（3）由于数列{bn}是等差数列，bn=n-3.5，利用等差数列的求和公式可求得Sn+1，从而可得，可求．
证明：（1）∵，
而 ，
∴．（n∈N+）
∴{bn}是首项为，公差为1的等差数列．
（2）依题意有，而，
∴．
对于函数，在x＞3.5时，y＞0，y'＜0，在（3.5，+∞）上为减函数．
故当n=4时，取最大值3
而函数在x＜3.5时，y＜0，，在（-∞，3.5）上也为减函数．
故当n=3时，取最小值，a3=-1．
（3），bn=n-3.5，
∴．