Question

（理）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若准线l与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．
（1）求双曲线C的离心率e的值；
（2）若双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为求双曲线c的方程．

Answer

（1）根据双曲线方程可知，双曲线C的右准线l的方程为：x=，两条渐近线方程为：，从而可得两交点坐标，根据△PFQ为等边三角形，则有，从而可建立方程，利用c2-a2=b2，即可求得双曲线C的离心率e的值；
（2）由（1）得双曲线C的方程为．把代入得．
利用韦达定理及弦长公式，可求弦长，利用双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为，建立方程，可求a2的值，从而得到双曲线C的方程．
【解析】
（1）双曲线C的右准线l的方程为：x=，两条渐近线方程为：．
∴两交点坐标为 ，、，．
设M为PQ与x轴的交点
∵△PFQ为等边三角形，则有（如图）．
∴，即．
解得 ，c=2a．
∴．
（2）由（1）得双曲线C的方程为．直线方程为
把代入得．
依题意
∴a2＜6，且a2≠3．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴，
∴双曲线C被直线y=ax+b截得的弦长为=
∵．
∴．
整理得 13a4-77a2+102=0．
∴a2=2或．
∴双曲线C的方程为：或 ．