Question

已知正项数列{a_n}中，函数．
（Ⅰ）若正项数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N^*），试求出a₂，a₃，a₄．由此归纳出通项a_n，并证明；
（Ⅱ）若正项数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N^*），数列{b_n}满足，其和为T_n，求证：．

Answer

（I）由递推公式，求出前四项，从而由归纳推理，猜想通项公式，再将递推式变形、证明；
（Ⅱ）由不等关系an+1≤f（an）和（I）的思路启发，探求an的最值，从而过渡得到bn范围，再用求和公式证明不等式．
【解析】
（Ⅰ），，
归纳出．…（2分）
证明：∵，
∴，
∴，
∴是以为首项，为公比等比数列
.，
∴，故通项an是正确的．…（6分）
（Ⅱ）由得，
∴，
故，
累乘得，
∴，
即，故．…（10分）

故…（13分）