Question

若直线l与抛物线c：y²=2px（p＞0）交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，是抛物线c的焦点，则“弦长|AB|=x₁+x₂+p”是“直线l经过点F”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

先利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以证得，“弦长|AB|=x1+x2+p”是“直线l经过点F”的必要条件；再利用反证法证明：“弦长|AB|=x1+x2+p”是“直线l经过点F”的充分条件
【解析】
若直线l经过点F，则根据抛物线的定义可得：|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p，
∴“弦长|AB|=x1+x2+p”是“直线l经过点F”的必要条件
若弦长|AB|=x1+x2+p，假设直线l不经过点F，连接AF，BF，则|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=|AB|，
这与直线l不经过点F矛盾，所以直线l经过点F
∴“弦长|AB|=x1+x2+p”是“直线l经过点F”的充分条件
所以，“弦长|AB|=x1+x2+p”是“直线l经过点F”的充要条件
故选C．