Question

在单位正方体AC₁中，点E、F分别是棱BC、CD的中点．
（Ⅰ）求证：D₁E⊥平面AB₁F；
（Ⅱ）求三棱锥E-AB₁F的体积；
（Ⅲ）设直线B₁E、B₁D₁与平面AB₁F所成的角分别为α、β，求cos（α+β）．

Answer

（Ⅰ）线根据其为正方体可得AB1⊥D1E以及AF⊥D1D；再根据Rt△ADF与Rt△DCE全等得到AF⊥DE；可证AF⊥平面D1DE进而得AF⊥D1E，即可证明结论成立．
（Ⅱ）先求出三角形AEF的面积，再根据体积相等把所求问题转化为即可．
（Ⅲ）先根据DE⊥平面AB1F得到∠EB1D1=α+β；再分两部分求，先求出两个角的三角函数值，再由余弦的和角公式求解即可．
（Ⅰ）证明：在正方体AC1中，连A1B，D1C．
AB1⊥平面A1BCD1，D1E⊂平面A1BCD1⇒AB1⊥D1E…（2分）
连接DE，则Rt△ADF与Rt△DCE全等⇒AF⊥DE
D1D⊥平面ABCD
AF⊂平面ABCD⇒AF⊥D1D
DE∩D1D=D
⇒AF⊥平面D1DE⇒AF⊥D1E
又AB1∩AF=A，故D1E⊥平面AB1F．     …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，E为棱BC的中点．
∴SAEF=，
∴==S△AEF•B1B=××1=．…（9分）
（Ⅲ）∵DE⊥平面AB1F
∴∠EB1D1=α+β…（11分）
在△EB1D1中，B1E=，D1E=，B1D1=．
∴os（α+β）===．…（14分）