Question

已知f（x）是定义在R上的函数，f（1）=1，且∀x₁，x₂∈R，总有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+1恒成立．
（Ⅰ）求证：f（x）+1是奇函数；
（Ⅱ）对∀n∈N*，有，，求：S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1及；
（Ⅲ）求F（n）=a_n+1+a_n+2+…+a_2n（n≥2，n∈N）的最小值．

Answer

（1）要证函数f（x）+1是奇函数，即证明f（-x）+1=-[f（x）+1]．令x1=x2=0得f（0）=-1，再令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，移向整理即可．
（2）令x1=n，x2=1得f（n+1）=f（n）+2，所以f（n）=2n-1，，，
得出，裂项后求出Sn，又，利用错位相消法求出Tn．
（3））由，判断得出F（n）随的增大而增大，F（2）为所求的最小值．
【解析】
（1）证明：f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，
令x1=x2=0得f（0）=-1，再令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1
∴f（-x）+1=-[f（x）+1]，
函数f（x）+1是奇函数．
（2）令x1=n，x2=1得f（n+1）=f（n）+2，所以f（n）=2n-1，，，
∴

又，
①
②
由①-②得出

=
计算整理得出得

（3）∵
∴F（n+1）＞F（n）．又n≥2，
∴F（n）的最小值为