Question

如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，PA=AD=DC=2，AB=4．
（Ⅰ）求证：BC⊥PC；
（Ⅱ）求PB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）取AB中点E，连接CE，根据题意可得：AE=CE=2，得到△ABC为等腰直角三角形，所以AC⊥BC，又PA⊥BC，再结合线面垂直的判定定理可得线面垂直，进而得到线线垂直．
（Ⅱ）以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，求出直线所在的向量与平面的法向量，再求出两个向量的夹角，进而转化为线面角．
【解析】
（Ⅰ）在直角梯形ABCD中，AC=，
取AB中点E，连接CE，
则四边形AECD为正方形，…（2分）
∴AE=CE=2，
又BE=，
所以△ABC为等腰直角三角形，
∴AC⊥BC，…（4分）
又∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴PA⊥BC，由AC∩PA=A，
所以BC⊥平面PAC，
∵PC⊂平面PAC，
所以BC⊥PC．…（6分）
（Ⅱ）以A为坐标原点，AD，AB，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系．
则P（0，0，2），B（0，4，0），C（2，2，0），
所以．…（9分）
由（Ⅰ）知即为平面PAC的一个法向量，，…（11分）
即PB与平面PAC所成角的正弦值为．…（12分）