Question

设数列{a_n}的首项为a₁=1，前n项和为S_n，且S_n+1=2n²+3n+1，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设数列{}的前n项和为T_n，是否存在最大正整数β，使得对[1，β+1]内的任意n∈N^*Z，不等式Τ_n＜恒成立？若存在，求出β的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）先利用递推公式Sn+1-Sn=an+1求得当n≥3时数列{an}的通项公式an，再由已知计算a1、a2的值，验证后得n∈N*时，数列{an}的通项公式an；
（II）先由列项求和的方法求数列{}的前n项和为Tn，再利用数列{Tn}的单调性，得Tn在[1，β+1]上的最大值，解不等式Τn＜，可得β的范围
【解析】
（I）由Sn+1=2n2+3n+1，得Sn=2（n-1）2+3（n-1）+1  （n≥2）
∴Sn+1-Sn=4n+1，∴an+1=4n+1
∴an=4n-3  （n≥3）
当n=1时，S2=6，∵a1=1，∴a2=5
∴an=4n-3  （n∈N*）
（II）∵==（-）
∴Tn==（1-）
∵（1-）在[1，β+1]上单调递增，（β∈N*）
∴[（1-）]max=（1-）
∴（1-）＜，∴
∵β∈N*，∴β≤14
∴存在最大正整数β=14，使得对[1，β+1]内的任意n∈N*，不等式Τn＜恒成立