Question

已知函数f（x）=m+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a_nxⁿ+a_n+1xⁿ⁺¹，n∈N^*．
（I）若f（x）=．
①求曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率；
②若函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且点（x₁，f（x₁））在第二象限，点（x₂，f（x₂））位于y轴负半轴上，求m的取值范围；
（II）当a_n=时，设函数f（x）的导函数为f'（x），令T_n=，证明：T_n≤f'（1）-1．

Answer

（I）①由f（x）=，可得f′（x）=x+x2，从而可求曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率；
②f′（x）=x+x2=x（x+1），根据f′（x）＜0得-1＜x＜0，f′（x）＞0得x＜-1或x＞0，利用函数f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且点（x1，f（x1））在第二象限，点（x2，f（x2））位于y轴负半轴上，可得f（-1）＞0，f（0）＜0，从而可
求m的取值范围；
（II）先求导函数f′（x）=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+…+（n+1）an+1xn，再利用错位相减法求得f′（1）=，进而分类讨论可证
【解析】
（I）由f（x）=，f′（x）=x+x2
①曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率k=f′（1）=2
②f′（x）=x+x2=x（x+1）
由f′（x）＜0得-1＜x＜0
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞0
∵函数f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且点（x1，f（x1））在第二象限，点（x2，f（x2））位于y轴负半轴上
∴f（-1）＞0，f（0）＜0
∴
∴
（II）f′（x）=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+…+（n+1）an+1xn，
∵f′（1）=a1+2a2+3a3+4a4+…+（n+1）an+1=①
f′（1）=②
①-②：f′（1）==
∴f′（1）=
要证：Tn≤f'（1）-1．
即证：
当n=1时，T1=f'（1）-1=1
当n=2时，，f'（1）-1=，∴Tn＜f'（1）-1
当n≥3时，
而≥
∵n≥3，∴n（n-1）＞2，∴，∴2n＞n+3
∴
∴
∴
∴当n≥3时，=f'（1）-1．
∴Tn≤f'（1）-1恒成立．