Question

给出如下四个命题：①回归直线方程必过点；②幂函数y=（m²-m-1）x^1-m在R上是减函数；③“a，b∈[0，1]”是“函数有两相异极值点的概率为”的充要条件；④命题“∀x∈[1，2]，x²-1≥0”的否定为“∃x∈[1，2]，x²-1＜0”．其中正确命题的个数是（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

Answer

第①个命题说明回归直线通过样本中心点．
②：由幂函数的概念判断出m2-m-1等于1；列出等式求出m，再根据象关于y轴对称验证其指数为偶数．再判断其单调性；
③：先利用导数求出函数在R上有两个相异极值点的充要条件，得出关于a，b的约束条件，在a-o-b坐标系中画出可行域，再利用几何概型求出两者的面积比即可．
④：特称命题“∀x∈[1，2]，x2-1≥0”的否定是：把∀改为∃，其它条件不变，然后否定结论，变为一个特称命题．即“∃x∈[1，2]，x2-1＜0”．
【解析】
对于①，已知n个散点Ai（xi，yi），（i=1，2，3，…，n）的线性回归方程为，若，（其中，），则此回归直线必经过点（），这说明回归直线一定经过样本中心点，故正确．
对于②：∵幂函数f（x）=（m2-m-1）x1-m
∴m2-m-1=1⇒m=-1或m=2
当m=2时，幂函数f（x）=（m2-m-1）x1-m=x-1，
它不在R上是减函数，故错；
③：易得f′（x）=ax2-2bx+a，
对于函数在R上有两个相异极值点的充要条件：
是a≠0且其导函数的判别式大于0，即a≠0且4b2-4a2＞0，
又若a，b在区间[0，1]上取值，则b＞a，
点（a，b）满足的区域如图中阴影部分所示，
其中正方形区域的面积为1，阴影部分的面积为 ，
但反之不能成立，因为当a，b在区间[1，2]上取值时，也得到有两相异极值点的概率为”．故错．
对于④，全称命题“∀x∈[1，2]，x2-1≥0”的否定是特称命题：“∃x∈[1，2]，x2-1＜0”．故正确．
故选C．