Question

椭圆C₁的中心在原点，过点（0，），且右焦点F₂与圆C₂：（x-1）²+y²=的圆心重合．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若点P是椭圆上的动点，EF是圆C₂的任意一条直径，求的最大值．
（3）过点F₂的直线l交椭圆于M、N两点，问是否存在这样的直线l，使得以MN为直径的圆过椭圆的左焦点F₁？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；

Answer

（1）依题意得c=1，a2=b2+c2=4．由此可求出椭圆C1的方程．
2）=-，由此可求出的最大值．
（3）由题意知F1（-1，0）以MN为直径的圆过F1⇔，设直线为y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2），=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（1+k2）x1x2+（1-k2）（x1+x2）+1+k2，由，知（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，再由根与系数的关系进行求解．
【解析】
（1）依题意得F2（1，0），所以c=1，又过点（0，），
因此a2=b2+c2=4．
故所求的椭圆C1的方程为：，
2）
=
=-，
∵∈[1，3]，∴的最大值为，
（3）由（1）知F1（-1，0）以MN为直径的圆过F1⇔，
①若直线l斜率不存在．易知N（1，），M（1，-）
=合题意，
若直线l斜率k存在，可设直线为y=k（x-1），M（x1，y1），N（x2，y2）
=（x1+1，y1）•（x2+1，y2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2，
=（1+k2）x1x2+（1-k2）（x1+x2）+1+k2  （*）
由，知（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
∴，，代入（*），
得=，
由，得k=，
所以存在满足条件的直线，方程为：．