Question

方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根可转化为函数f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零点，有导数证明函数是单调函数，f（x）零点有且只有一个为0．从而方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根有且只有一个为0．
【解析】
方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根可转化为函数f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零点，
f′（x）=1-cosx，在x∈[-π，π]，-1≤cosx≤1，所以1-cosx≥0，即f′（x）≥0，
所以f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上为增函数．
又因为f（0）=0-sin0=0，所以0是f（x在x∈[-π，π]上的一个零点，
所以函数f（x）=x-sinx在x∈[-π，π]上的零点有且只有一个为0．
所以方程x=sinx在x∈[-π，π]上实根有且只有一个为0．
故选A．