如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面PAD垂直底面ABCD，且△PAD为...

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面PAD垂直底面ABCD，且△PAD为正三角形，E为侧棱PD的中点．
（I）求证：AE⊥平面PCD；
（II）求平面PAB与平面PDC所成二面角的大小；
（III）求直线PB与平面PDC所成角的大小．

（I）根据侧面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥侧面PAD，可知：AE⊥CD，又AE⊥PD，所以AE⊥平面PCD （II）设平面PCD 与平面PAB的交线为l，根据四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面PAD垂直底面ABCD，可知CD⊥平面PAD，所以∠APD为平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角，故可求；（III）先求B到平面PCD的距离，PB的长，设直线PB与平面PDC所成角为α，利用正弦函数可求．证明：（I）因为：侧面PAD⊥底面ABCD，所以：CD⊥侧面PAD，可知：AE⊥CD 而在正三角形PAD中，AE是PD边上的中线，也是它上的高，即：AE⊥PD， ∵CD∩PD=D 所以：AE⊥平面PCD 【解析】（II）∵CD∥AB ∴CD∥平面PAB 设平面PCD 与平面PAB的交线为l ∴CD∥l ∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面PAD垂直底面ABCD ∴CD⊥平面PAD ∴∠APD为平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角 ∵△PAD为正三角形 ∴∠APD=60° ∴平面PAB与平面PDC所成二面角的平面角为60°．（III）∵△PAD为正三角形，E为侧棱PD的中点 ∴AE⊥平面PCD 设AD=a，则AE= ∵AB∥平面PCD ∴B到平面PCD的距离设直线PB与平面PDC所成角为α ∴ ∴

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等