Question

已知数列{a_n}满足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n为其前n项的和，a₁=2
（I）证明：数列{a_n}的通项公式为a_n=n（n+1）；
（II）求数列的前n项和T_n；
（III）是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有成立，若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）由3Sn=（n+2）an，知3Sn-1=（n+1）an-1，所以（n+1）an-1=（n-1）an，，，，．两端同时求积能够证明an=n（n+1）．
（II） 由==，知，，．两端同时求和能够得到数列的前n项和Tn．
（III）存在无限集合M，使得当n∈M时，总有成立．|Tn-1|=||=，则n＞9．由此能求出无限集合M．
【解析】
（I）∵3Sn=（n+2）an，①
∴3Sn-1=（n+1）an-1，②
①-②得：3an=（n+2）an-（n+1）an-1，
即（n+1）an-1=（n-1）an，
则有，
，
，
．
两端同时求积得：，
即an=n（n+1）．
（II） 由==，
，
，
．
两端同时求和得：=，
即Tn=．
（III）存在无限集合M，使得当n∈M时，
总有成立．
|Tn-1|=||=，
则|Tn-1|＜成立，即n＞9．
所以，取M={10，11，12，13，14，…} 即可．