过抛物线x2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．...

过抛物线x²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．
（I）证明：△ABO是钝角三角形；
（II）求△ABO面积的最小值；
（III）过点A作抛物线的切线交y轴于点C，求线段AC中点M的轨迹方程．

（I）欲证△ABO是钝角三角形，只需证明∠AOB的余弦值小于0即可．设出A，B点坐标，以及直线AB的方程，联立直线方程与抛物线方程，求x1x2，y1y2的，用向量的坐标公式求，再代入向量的夹角公式，求出∠AOB的余弦值，再判断正负即可．（II）y轴把△ABO分成了两个三角形，分别是△AFO和△BFO，所以S△ABO=s△AFO+S△BFO=，再把（I）中求出的x1x2，x1+x2的值代入，就可用含k的式子表示S△ABO，再求最值即可．（III）先设出过点A的抛物线的切线方程，与抛物线方程联立，利用△=0，求出k，再带回切线方程，求C点坐标，这样就可找到AC中点的坐标，进而求出中点M的轨迹方程．【解析】（I）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程由，得x2-2pkx-p2=0 ∴ ∴•= ∴ ∴∠AOB为钝角，△ABO为钝角三角形（II）由（I）x1x2=-p2，x1+x2=2pk ∴==当k=0时取等号 ∴△ABO面积的最小值是（III）设过点A的切线方程为y=k（x-x1）+y1由得 x2-2pkx+2pkx1-2py1=0令△=4p2k2-4（2pkx1-2py1）=0解得 ∴切线方程为令x=0，得 ∴线段AC中点M为（x，0） ∴点M的轨迹方程为y=0（x≠0）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等