Question

为研究“原函数图象与其反函数图象的交点是否在直线y=x上”这个课题，我们可以分三步进行研究：
（I）首先选取如下函数：y=2x+1，，
求出以上函数图象与其反函数图象的交点坐标：y=2x+1与其反函数的交点坐标为（-1，-1）与其反函数的交点坐标为（0，0），（1，1）与其反函数y=x²-1，（x≤0）的交点坐标为（），（-1，0），（0，-1）
（II）观察分析上述结果得到研究结论；
（III）对得到的结论进行证明．现在，请你完成（II）和（III）．

Answer

（II）原函数的图象与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上．
（III）设（a，b）是f（x）的图象与其反函数的图象的任一点，由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，则（b，a）也是f（x）的图象与反函数的图象的交点，且b=f（a），a=f（a），若a＞b时，交点显然在y=x上．由此进行分类讨论知：f（x）单调递增，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点在y=x上；f（x）单调递减，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点不在y=x上．
（II）【解析】
原函数的图象与反函数的图象的交点不一定在直线y=x上．
（III）证明：设（a，b）是f（x）的图象与其反函数的图象的任一点，
由于原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，
则（b，a）也是f（x）的图象与反函数的图象的交点，
且b=f（a），a=f（a），
若a＞b时，交点显然在y=x上．
若a＜b，且f（x）是增函数时，有f（b）＜f（a），从而b＜a．矛盾；
若b＜a，且f（x）是增函数时，有f（a）＜f（b），从而a＜b．矛盾；
若a＜b，且f（x）是减函数时，有f（b）＜f（a），从而a＜b．此时交点不在y=x上；
若b＜a，且f（x）是减函数时，有f（a）＜f（b），从而b＜a．此时交点不在y=x上．
综上所述，f（x）单调递增，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点在y=x上；f（x）单调递减，且f（x）的图解与其反函数的图象有交点时，交点不在y=x上．