Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+nc（c是常数，n=1，2，3…），且a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）设，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）由递推关系求出数列的前3项，然后根据a1，a2，a3成等比数列建立等式，从而求出c的值，注意验证；
（Ⅱ）当n≥2时，a2-a1=c，a3-a2=2c，…，an-an-1=（n-1）c，然后利用叠加法求出an，从而求出bn，最后利用裂项求和法求出数列{bn}的前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）由题意，知a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，
∵a1，a2，a3成等比数列，
∴（2+c）2=2（2+3c），
解得c=0，或c=2．
当c=0时，a1=a2=a3，不合题意，舍去．
故c=2．
（Ⅱ）当n≥2时，
∵a2-a1=c，a3-a2=2c，…，an-an-1=（n-1）c，
∴an-a1=[1+2+3+…+（n-1）]c
=，
∵a1=2，c=2，
∴an=2+n（n-1）=n2-n+2（n≥2，n∈N+），
当n=1时，上式也成立，
所以，an=n2-n+2（n∈N+），
∴===
∴Sn=（1-）+（-）+…+（）=1-=