Question

若数列{a_n}对于任意的正整数n满足：a_n＞0且a_na_n+1=n+1，则称数列{a_n}为“积增数列”．已知“积增数列”{a_n}中，a₁=1，数列{a_n²+a_n+1²}的前n项和为S_n，则对于任意的正整数n，有（ ）
A．S_n≤2n²+3
B．S_n≥n²+4n
C．S_n≤n²+4n
D．S_n≥n²+3n

Answer

利用基本不等式判断出an2+an+12≥2anan+1，利用等差数列的前n项和求出数列{anan+1}的前n项和；据项大和就大，判断出数列{an2+an+12}的前n项和的范围．
【解析】
∵an＞0
∴an2+an+12≥2anan+1
∵anan+1=n+1
∴{anan+1}的前n项和为2+3+4+…+n+1=
∴数列{an2+an+12}的前n项和为
故选D