Question

已知：正数数列a_n中，若关于x的方程有相等的实根
（1）若a₁=1，求a₂，a₃的值；并证明
（2）若a₁=a，b_n=a_n-（3n-12）•2ⁿ，求使b_n+1≥b_n对一切n∈N⁺都成立的a的取值范围．

Answer

（1）由得an+1=3an+2，再由an+1=3an+2得an+1+1=3（a1+1），由此能够证明．
（2）当a1=a时，an+1=（a+1）•3n-1，bn=（a+1）•3n-1-1-（3n-12）•2n，bn+1-bn=（a+1）•2•3n-1-（3n-6）•2n≥0对一切n∈N+都成立，由此能求出使bn+1≥bn对一切n∈N+都成立的a的取值范围．
【解析】
（1）由得an+1=3an+2∴
由an+1=3an+2得an+1+1=3（a1+1），
所以an+1为首项为2公比为3的等比数列
得an+1=2•3n-1（5分），
（8分）
（2）当a1=a时，an+1=（a+1）•3n-1，bn=（a+1）•3n-1-1-（3n-12）•2n
bn+1-bn=（a+1）•2•3n-1-（3n-6）•2n≥0对一切n∈N+都成立，所以
令，，
所以，所以（16分）