Question

设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，0＜f（x）＜1，且对于任意的实数x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）．
（1）求f（0）；
（2）试判断函数f（x）在[0，+∞）上是否存在最小值，若存在，求该最小值；若不存在，说明理由；
（3）设数列{a_n}各项都是正数，且满足a₁=f（0），（n∈N^*），又设，S_n=b₁+b₂+…+b_n，，当n≥2时，试比较S_n与T_n的大小，并说明理由．

Answer

（1）根据对于任意的实数x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y），令y=0，x=-1可求出f（0）的值；
（2）先利用函数单调性的定义证明该函数的单调性，从而可求出函数的最小值，从而求出所求；
（3）根据条件可得f（an+12-an2-an+1-an）=f（0），又f（x）在R上为增函数，从而得到
数列{an}为等差数列，求出通项公式，然后利用裂项求和法可求出Tn，利用等比数列的求和公式可求出Sn，根据当n≥2时，2n=（1+1）n=Cn+Cn1+Cn2+…＞1+n可比较Sn与Tn的大小．
【解析】
（1）令y=0，x=-1得f（-1）=f（-1）f（0），又f（-1）＞0
∴f（0）=1
（2）∵x＜0时，f（x）＞0
∴x＞0时，f（x-x）=f（x）f（-x）=1得，
故对于x∈R，f（x）＞0
任取实数x1，x2，且x1＜x2，则x1-x2＜0∴0＜f（x1-x2）＜1
∴f（x1）=f[（x1-x2）+x2]=f（x1-x2）f（x2）＜f（x2）
∴f（x）在R上为增函数
∴f（x）在[0，+∞）上存在最小值，
即f（x）min=f（0）=1；
（3）由得f（an+12-an2）f（-an+1-an）=1=f（0）
即f（an+12-an2-an+1-an）=f（0），又f（x）在R上为增函数
∴an+12-an2-an+1-an=0
∴（an+1+an）（an+1-an-1）=0，又数列{an}各项都是正数
∴an+1-an=1，n∈N*
∴数列{an}为等差数列，an=a1+（n-1）•1=f（0）+n-1=n
∵，∴
而
当n≥2时，2n=（1+1）n=Cn+Cn1+Cn2+…＞1+n，
故∴Sn＞Tn
综上，Sn＞Tn（n∈N*且n≥2）