Question

已知函数，且函数y=f（x）的图象的一个对称中心为．
（I）求a和函数f（x）的单调递减区间；
（II）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足，求函数f（A）的取值范围．

Answer

（I）利用二倍角公式，辅助角公式对已知函数进行化简可得f（x）=，由函数y=f（x）的图象的一个对称中心为可得2ω=kπ，结合可求ω
，进而可求f（x），a，令可求函数的单调递减区间
（II）对利用正弦定理，和差角公式化简可求cosB，进而可求B，结合三角形的内角和定理可求A的范围，结合正弦函数的性质可求f（A）的范围
【解析】
（I）∵f（x）=（ωx+cosωx）sin（-+ωx）
=
=
=
=（2分）
又∵函数y=f（x）的图象的一个对称中心为
∴2ω=kπ
∴
∵
∴（4分）
从而有f（x）=sin（），故a=，
令可得，k∈Z
∴函数的单调递减区间[，]，k∈Z（6分）
（II）∵
由正弦定理可得，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sin（π-A）=sinA
∵sinA≠0
∴cosB=
∴B=（9分）
∴
∴
∴
∵f（A）=sin（A+），
∴（12分）