Question

已知直线l的方程为3x-2y-1=0，数列{a_n}的前n项和为S_n，点（a_n，S_n）在直线l上．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II），数列{b_n}的前n项和为的最大值．

Answer

（I）由题意可得3an-2Sn-1=0 ①，故有 3an+1-2sn+1-1=0 ②，②-①可得 an+1=3an．故数列{an}是公比q=3的等比数列．在①中，令n=1可得 a1=1，由此求得求数列{an}的通项公式．
（II）由（I）可得 Sn的解析式，从而得到{bn}的通项公式及Tn的解析式，化简f（n）=的解析式为，利用基本不等式求出f（n） 的最大值．
【解析】
（I）由题意可得3an-2Sn-1=0  ①，∴3an+1-2sn+1-1=0  ②．
②-①可得 3an+1-3an=2an+1，即 an+1=3an．
故数列{an}是公比q=3的等比数列．
在①中，令n=1可得 a1=1，∴an=1×3n-1=3n-1．
（II）由以上可得 Sn==．
∵=3n，∴Tn=，
∴===≤，当且仅当n=4时，等号成立．
∴f（n）=的最大值等于．