Question

若AB是过二次曲线中心的任一条弦，M是二次曲线上异于A、B的任一点，且AM、BM均与坐标轴不平行，则对于椭圆=1有K_AM•K_BM=-．类似地，对于双曲线-=1有K_AM•K_BM=    ．

Answer

设A，B所在直线为y=kx与椭圆方程联立设A（x1，y1）B（x2，y2）M（m，n）根据韦达定理表示出y1y2和x1x2，把点M的坐标代入椭圆方程，进而可表示出AM和BM的斜率，求得两斜率乘积的表达式，把y1+y2=0 x1+x2=0以及x1x2，y1y2，n2代入并整理就能得到答案．
【解析】
设A，B所在直线为y=kx与双曲线方程b2x2-a2y2=a2b2
联立得：（b2-a2k2）x2=a2b2
设A（x1，y1）B（x2，y2）M（m，n）
根据韦达定理
x1x2=代入y=kx
y1y2=
把M的坐标代入双曲线方程得n2=（a2b2+b2m2）
kAM•kBM=（y1-n）（y2-n）/（x1-m）（x2-m）
=[y1y2-（y1+y2）n+n2]
因为AB是过二次曲线中心的任一条弦，所以AB过原点
y1+y2=0 x1+x2=0
kAM•kBM=
把x1x2，y1y2，n2代入并整理就能得到kAM•kBM=