Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，且满足递推关系a_n+1=（m∈N^*）
（1）当m=1时，求数列{a_n}的通项a_n；
（2）当m∈N^*时，数列{a_n}满足不等式a_n+1≥a_n恒成立，求m的取值范围．

Answer

（1）m=1，由，n∈N*，得：an+1+1=2（an+1），由此能够求出数列{an}的通项an．
（2）由an+1≥an，a1=1，知an＞0，所以，依题意，有m＞-（an+1）2+1恒成立．由此能求出满足题意的m的取值范围．
【解析】
（1）m=1，由，n∈N*，
得：，
an+1+1=2（an+1），
∴{an+1}是以2为首项，公比也是2的等比例数列．
于是an+1=2•2n-1，
∴an=2n-1．
（2）由an+1≥an，a1=1，知an＞0，
∴，
即m≥-an2-2an，
依题意，有m≥-（an+1）2+1恒成立．
∵an≥1，
∴m≥-22+1=-3，
即满足题意的m的取值范围是[-3，+∞）．