Question

如图1所示，在边长为12的正方形AA′A′₁A₁中，BB₁∥CC₁∥AA₁，且AB=3，BC=4，AA′₁分别交BB₁，CC₁于点P、Q，将该正方形沿BB₁、CC₁折叠，使得A′A′₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁，请在图2中解决下列问题：
（1）求证：AB⊥PQ；
（2）在底边AC上有一点M，满足AM；MC=3：4，求证：BM∥平面APQ．
（3）求直线BC与平面APQ所成角的正弦值．

Answer

（1）由AB⊥BC．AB⊥BB1，得AB⊥平面BC1，易得AB⊥PQ；
（2）过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，由PB∥CQ得MN∥PB，从而四边形PBMN为平行四边形，对边平行BM∥PN，由线面平行的判定定理得BM∥平面APQ；
（3）先求得各点的坐标，从而得出相应向量的坐标，再求出平面APQ的法向量，由线面角公式求解．
【解析】
证明：（1）证明：因为AB=3，BC=4，
所以AC=5，从而AC2=AB2+BC2，
即AB⊥BC．（2分）
又因为AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BC1，又PQ⊂平面BC1
所以AB⊥PQ；（4分）

（2）【解析】
过M作MN∥CQ交AQ于N，连接PN，
因为AM：MC=3：4∴AM：AC=MN：CQ=3：7（6分）
∴MN=PB=3，∵PB∥CQ∴MN∥PB，∴四边形PBMN为平行四边形∴BM∥PN，所以BM∥平面APQ（8分）

（3）【解析】
由图1知，PB=AB=3，QC=7，分别以BA，BC，BB1为x，y，z轴，
则A（3，0，0），C（0，4，0），P（0，0，3），Q（0，4，7）（10分）
设平面APQ的法向量为，
所以得，
令a=1，则c=1，b=-1，
所以直线BC与平面APQ所成角的正弦值为（12分）
（注）用其他解法可相应给分．