Question

如图a，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB．已知AB=AD=CE=2，沿线段EF把四边形CDFE折起如图b，使平面CDFE⊥平面ABEF．
（1）求证：AB⊥平面BCE；
（2）求三棱锥C-ADE体积．

Answer

（1）由图a中，EF∥AB，AB⊥AD，易得图b中，CE⊥EF，结合平面CDFE⊥平面ABEF及面面垂直的性质定理可得CE⊥平面ABEF，进而CE⊥AB，再由AB⊥BE，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面BCE；
（2）由平面CDFE⊥平面ABEF，AF⊥FE，根据面面垂直的性质定理可得AF⊥平面CDEF，即AF为三棱锥A-CDE的高，计算出AF的长及底面三角形ADE的面积，代入棱锥体积公式可得答案．
证明：（1）在图a中，EF∥AB，AB⊥AD，
∴EF⊥AD，（2分）
在图b中，CE⊥EF，
又∵平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF=EF，
∴CE⊥平面ABEF，
又∵AB⊂平面ABEF，
∴CE⊥AB，（5分）
又∵AB⊥BE，BE∩CE=E，
∴AB⊥平面BCE；（7分）
（2）∵平面CDFE⊥平面ABEF，且平面CDFE∩平面ABEF=EF，AF⊥FE，AF⊂平面ABEF，
∴AF⊥平面CDEF，（10分）
∴AF为三棱锥A-CDE的高，且AF=1，
又∵AB=CE=2，
∴，
故三棱锥C-ADE体积V=AF•S△CDE=（14分）