Question

已知点C（1，0），点A、B是⊙O：x²+y²=9上任意两个不同的点，且满足，设P为弦AB的中点，
（1）求点P的轨迹T的方程；
（2）试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）先由条件求得AC⊥BC以及|CP|=|AP|=|BP|=，再利用垂径定理得|OP|2+|CP|2=9整理即可求得点P的轨迹T的方程；
（2）条件转化为求轨迹T与一抛物线是否有交点问题，把两个方程联立求解即可得出结论．
【解析】
（1）连接CP，由，知AC⊥BC
∴|CP|=|AP|=|BP|=，由垂径定理知|OP|2+|AP|2=|OA|2即|OP|2+|CP|2=9（4分）设点P（x，y），
有（x2+y2）+[（x-1）2+y2]=9化简，得到x2-x+y2=4（8分）
（2）根据抛物线的定义，到直线x=-1的距离等于到点C（1，0）的距离的点都在抛物线y2=2px上，其中，
∴p=2，故抛物线方程为y2=4x（10分）由方程组得x2+3x-4=0，解得x1=1，x2=-4（12分）
由于x≥0，故取x=1，此时y=±2，故满足条件的点存在的，其坐标为（1，-2）和（1，2）（14分）