Question

附加题：已知（x+1）ⁿ=a+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+a₃（x-1）³+…+a_n（x-1）ⁿ，（其中n∈N^*）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n．
（1）求S_n；
（2）求证：当n≥4时，S_n＞（n-2）2ⁿ+2n²．

Answer

（1）由于与二项式有关，故可采用赋值法．取x=1，则a=2n；取x=2，则a+a1+a2+a3+…+an=3n，从而可求Sn；
（2）要证Sn＞（n-2）2n+2n2，只需证3n＞（n-1）2n+2n2，再利用数学归纳法加以证明．
【解析】
（1）取x=1，则a=2n；
取x=2，则a+a1+a2+a3+…+an=3n，
∴Sn=a1+a2+a3+…+an=3n-2n；         （4分）
（2）要证Sn＞（n-2）2n+2n2，只需证3n＞（n-1）2n+2n2，
①当n=4时，81＞80；
②假设当n=k（k≥4）时，结论成立，即3k＞（k-1）2k+2k2，
两边同乘以3 得：3k+1＞3[（k-1）2k+2k2]=k2k+1+2（k+1）2+[（k-3）2k+4k2-4k-2]
而（k-3）2k+4k2-4k-2=（k-3）2k+4（k2-k-2）+6=（k-3）2k+4（k-2）（k+1）+6＞0
∴3k+1＞（（k+1）-1）2k+1+2（k+1）2，
即n=k+1时结论也成立，
由①②可知，当n≥4时，3n＞（n-1）2n+2n2成立．
综上原不等式获证．（10分）