Question

下列关于函数f（x）=（2x-x²）e^x的判断正确的是（ ）
①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}，f（x）＜0的解集是{x|x＜0或x＞2}．
②是极小值，是极大值．
③f（x）没有最小值，也没有最大值．
④f（x）有最大值，没有最小值．
A．①③
B．①②③
C．②④
D．①②④

Answer

令f（x）＞0可解x的范围，令f（x）＜0可解x的范围，可确定①正确；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确；根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，从而确定③④的真假，从而得到答案．
【解析】
由f（x）＞0⇒（2x-x2）ex＞0⇒2x-x2＞0⇒0＜x＜2，
由f（x）＜0⇒（2x-x2）ex＜0⇒2x-x2＜0⇒x＜0或x＞2故①正确；
f′（x）=ex（2-x2），由f′（x）=0得x=±，
由f′（x）＜0得x＞或x＜-，
由f′（x）＞0得-＜x＜，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，-），（，+∞）单调增区间为（-，）．
∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（-），故②正确．
∵x＜-时，f（x）＜0恒成立，x→+∞时，f（x）→-∞，
∴f（x）无最小值，
而f（x）的单调减区间为（-∞，-），（，+∞）单调增区间为（-，）且x＜-时，f（x）＜0．
∴f（x）有最大值f（）
∴f（x）没有最小值，也没有最大值不正确，即③不正确，
f（x）有最大值f（），但无最小值，故④正确．
故选D