Question

设平面向量=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），定义运算⊙：⊙=x₁y₂-y₁x₂．已知平面向量，，，则下列说法错误的是（ ）
A．（⊙）+（⊙）=0
B．存在非零向量a，b同时满足⊙=0且•=0
C．（+）⊙=⊙+⊙
D．|⊙|²=||²||²-|•|²

Answer

根据定义不难得出B是错误的，⊙=x1y2-y1x2=0，说明向、是互相平行的向量，若•=0，说明它们是垂直的向量．因为不存在两个非零向量，它们既平行又垂直，故B选项是错误的，而对于其它选项，可以分别证明它们是真命题．
【解析】
对于A，由定义得，⊙=x1y2-y1x2，⊙=x2y1-y2x1，所以（⊙）+（⊙）=0成立，A正确．
对于B，因为两个向量、平行的充要条件是x1y2-y1x2=0，若非零向量a，b同时满足⊙=0且•=0，说明两个向量既平行又垂直，故B选项是错误的．
设对于C，设，则（+）⊙=（x1+x2，y1+y2）⊙=n（x1+x2）-m（y1+y2）=（nx1-y1m）+（nx2-my2）=⊙+⊙，故C选项是正确的．
 对于D，|⊙|2=（x1y2-y1x2 ）2=x12y22-2x1x2y1y2+y12x22
||2||2-|•|2=（x12+y12）（x22+y22）-（x1x2+y1y2）2=x12y22-2x1x2y1y2+y12y22，因此D选项是正确的．
故选B