由题意,将不等式的左边进行分离为,这是积为定值的两个式子的和.在x2+c=1时,即x2=-c+1≥0,它的最小值为2.此时c∈(0,1].接下来讨论当c>1时和0<c≤1的两种情况下不等式左边的最小值,再解这个最小值大于或等于,最后可得正实数c的范围.
【解析】
根据已知条件给出的模型,得到启发:
=
当且仅当时等号成立,此时x2+c=1
①当c>1时,x2+c>1,以上不等式的等号不能成立,
所以的最小值应该是x=0时的值,即
因此不等式对一实数x都成立,符合题意.
②当0<c≤1时,
若要使得对一切实数x都成立
必须有:2成立,可得
⇒⇒c=1
综上所述,c∈[1,+∞)
故答案为:[1,+∞)