Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，PD=8，AC=6，BD=8，AC∩BD=O，E是棱PB上的一点．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）若BE：EP=1：2，求三棱锥O-BCE的体积；
（3）是否存在点E，使△ACE的面积最小？若存在，试求出△ACE面积最小值及对应线段BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）菱形的对角线AC、BD互相垂直，用线面垂直的定义得到AC、PD互相垂直，结合线面垂直的判定定理，得到AC与平面PBD垂直，最终得到AC与DE互相垂直．
（2）根据点E是线段PB靠近B点的一个三等分点，得到E到平面ABCD的距离等于PD长的，再用菱形的性质得到S△OBC=S菱形ABCD=6，最后用棱锥的体积公式得出三棱锥O-BCE的体积．
（3）连接OE，可以根据AC与平面PBD垂直，得到OE就是三角形AEC的边AC上的高，OE最短时△ACE的面积也达到最小值，转化为点O到线段PB的最小距离问题．由此得到当OE⊥PB时，△ACE的面积最小，再利用等腰直角三角形OEB求出此时的OE长，问题得到解决．
【解析】
（1）
∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD结合PD与DB相交
∴AC⊥平面PDB
∵DE⊂平面PDB
∴AC⊥DE…4′
（2）即求三棱锥E-OBC的体积，
由BE：EP=1：2及PD=8，
得：E到平面ABCD的距离为
又四边形ABCD为菱形，AC=6，BD=8，
∴S△OBC=S菱形ABCD=×6×8=6
∴…10′
（3）连接OE，由（1）得AC⊥平面PDB，而OE⊂平面PDB
∴OE⊥AC，OE是三角形ACE的边AC上的高
∴S△ACE=AC•OE=3OE，当OE最短时，△ACE的面积最小，
因为点E在线段PB上运动，所以当OE⊥PB时，△ACE的面积最小，
此时Rt△OEB是以OB为斜边的等腰直角三角形，
∴OE==，
所以存在点E使△ACE的面积最小，且△ACE面积最小值为，此时BE的长为…14′