Question

设数列{a_n}的前n项和为．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）设数列的前n项和为T_n，证明：．

Answer

（1）由题意：nan=Sn+2n（n-1），将an=Sn-Sn-1代换可得（n-1）Sn-nSn-1=2n（n-1），变形得，从而数列为等差数列；
（2）先求出Sn，然后根据an=Sn-Sn-1求出an，然后利用裂项求和法求出Tn，根据Tn为增函数，可求出Tn为的范围．
【解析】
（1）证明：由题意：nan=Sn+2n（n-1），∴n（Sn-Sn-1）=Sn+2n（n-1）（n∈N+，n≥2）…（2分）
即：（n-1）Sn-nSn-1=2n（n-1），∴，
所以数列为等差数列；                                             …（6分）
（2）由（1）得：，∴Sn=2n2-n，
∴an=Sn-Sn-1=2n2-n-2（n-1）2+（n-1）=4n-3，（n∈N+，n≥2）…（8分）
∴，…（10分）
又Tn为增函数，∴，∴…（13分）