Question

已知离心率为的椭圆C：的左焦点为F，上顶点为E，直线EF截圆x²+y²=1所得弦长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过D（-2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，．试探究的取值范围．

Answer

（1）由，得c=b，直线EF的方程为：x-y=-b，由题意原点O 到直线EF的距离为，知b=1，a2=2，由此能求出椭圆C的方程．
（2）若直线l∥x轴，则A、B分别是长轴的两个端点，M在原点O处，=；若直线l与x轴不平行时，设直线l的方程为：x=my-2，设A（x1，y1）、B（x2，y2）、M（x，y），由得：（m2+2）y2-4my+2=0，由△=（-4m）2-8（m2+2）＞0，知m2＞2，，由此能推导出．
【解析】
（1）由，得c=b，直线EF的方程为：x-y=-b，
由题意原点O 到直线EF的距离为，
∴，
∴b=1，a2=2，
∴椭圆C的方程是：．…（4分）
（2）①若直线l∥x轴，则A、B分别是长轴的两个端点，M在原点O处，
∴，
∴=．…（6分）
②若直线l与x轴不平行时，
设直线l的方程为：x=my-2，
并设A（x1，y1）、B（x2，y2）、M（x，y），
则，
得：（m2+2）y2-4my+2=0，（*）                          …（8分）
∵△=（-4m）2-8（m2+2）＞0，
∴m2＞2，
由（*）式得，
∴==，
∵m2＞2，
∴，
∴
综上，．…（14分）