Question

如图一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n（n≥3，n∈N）等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．如图所示圆环分成的n等份为a₁，a₂，a₃，…，a_n，有多少不同的种植方法（ ）

A．2ⁿ-2•（-1）^n-3种（n≥3）
B．2ⁿ-2•（-1）^n-2种（n≥3）
C．2ⁿ⁺¹-2•（-1）^n-3种（n≥3）
D．2^n-1-2•（-1）^n-3种（n≥3）

Answer

法1：由题意知圆环分为n等份，做法同前两种情况类似，对a1有3种不同的种法，对a2、a3、、an都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a1与ai（i=2、3、、n-1）不同颜色，但不能保证a1与an不同颜色．在这种情况下要分类，一类是an与a1不同色的种法，另一类是an与a1同色的种法，根据分类计数原理得到结果；
法2：特值法，令n=3，易得此时的种法，依次计算选项的值，验证可得答案．
【解析】
法1：圆环分为n等份，对a1有3种不同的种法，对a2、a3、、an都有两种不同的种法，
但这样的种法只能保证a1与ai（i=2、3、、n-1）不同颜色，但不能保证a1与an不同颜色．
于是一类是an与a1不同色的种法，这是符合要求的种法，记为S（n）（n≥3）种．
另一类是an与a1同色的种法，这时把an与a1看成一部分，相当于对n-1部分符合要求的种法，记为S（n-1）．
共有3×2n-1种种法．
这样就有S（n）+S（n-1）=3×2n-1．
即S（n）-2n=-[S（n-1）-2n-1]，则数列{S（n）-2n}（n≥3）是首项为S（3）-23公比为-1的等比数列．
则S（n）-2n=[S（3）-23]（-1）n-3（n≥3）．
由（1）知：S（3）=6
∴S（n）-2n+（6-8）（-1）n-3．
∴S（n）=2n-2•（-1）n-3．
法2：特值法
令n=3，易得此时的种法有A33=6种，
依次计算选项的值，验证可得A符合，
故选A，