Question

双曲线（a＞0，b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，其上一点P，若∠F₁PF₂=θ，
（1）证明：三角形；
（2）若双曲线的离心率为2，斜率为1的直线与双曲线交于B、D两点，BD的中点M（1，3），双曲线的右顶点为A，右焦点为F，若过A、B、D三点的圆与x轴相切，请求解双曲线方程和的值．

Answer

（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，由余弦定理得（2c）2=m2+n2-2mncosθ=4a2+2mn（1-cosθ），所以=，再由正弦定理能证明=．
（2）因为双曲线的离心率为2，所以双曲线方程为：3x2-y2=3a2，由题设知l的方程为：y=x+2，A（a，0），F（2a，0），联立方程得2x2-4x-4-3a2=0，x1+x2=2，，由此入手能够求出的值．
（1）证明：设|PF1|=m，|PF2|=n，由余弦定理得
（2c）2=m2+n2-2mncosθ
=（m-n）2+2mn-2mncosθ
=4a2+2mn（1-cosθ），
∴=，
由正弦定理===．…（5分）
（2）【解析】
因为双曲线的离心率为2，
所以双曲线方程为：3x2-y2=3a2，
由题设知l的方程为：y=x+2，A（a，0），F（2a，0），
联立方程得2x2-4x-4-3a2=0，
x1+x2=2，，
若过A、B、D三点的圆与x轴相切，
则=2=2MA，
∴6+3a2=（a-1）2+9，
∴a=1，
∴双曲线方程为．…（8分）
故不妨设x1≤-a，x2≥a，
则|BF|===a-2x1，
|FD|===2x2-a，
∴|BF|•|FD|=（a-2x1）（2x2-a）
=-4x1x2+2a（x1+x2）-a2
=5a2+4a+8
=17，
∴=17．…（12分）