Question

已知函数，且G（1）=0，G（x）在x=1的切线斜率为0．
（1）求a，b
（2）设a_n=G′（）+n-2，求证：
（3）若b_n=2af（b_n-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），且b₁=1，c_n=．求证：．

Answer

（1）先得函数G（x）=f（x）-g（x）=ax-，根据G（1）=0，G（x）在x=1的切线斜率为0，可得两方程，从而可求a，b的值；
（2）先求导函数，根据an=G′（）+n-2，可得，从而
 n=1，2时，直接计算可证；n≥3时，利用放缩法进行证明即可；
（3）根据bn=2af（bn-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），可得bn=2bn-1+3cos（nπ）（n≥2），从而可得为首项为2，公比为2的等比数列，根据cn=，可得，再分n为奇数，偶数分类讨论进行证明即可．
（1）【解析】
G（x）=f（x）-g（x）=ax-
∵G（1）=0，∴a-b=0
∵，G（x）在x=1的切线斜率为0．
∴G′（1）=0
∴a+b=2
∴a=1，b=1
（2）证明：
∵an=G′（）+n-2，
∴
∴
 n=1时，
n=2时，
n≥3时，
∴
=
（3）证明：∵bn=2af（bn-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），
∴bn=2bn-1+3cos（nπ）（n≥2），即：bn=2bn-1+3（-1）n（n≥2），
则   
又
∴为首项为2，公比为2的等比数列．
∴
∴
∵cn=
∴
∴=
又2n＞1
∴2n2n+1-2n+2n+1-1＞2n2n+1
 即：（2n+1）（2n+1-1）＞2n2n+1
∴
当n为奇数时，=
=

=
=
当n为偶数时，=
=

=

综上所述：