Question

若函数
（1）若f（x）在[1，+∞）上为增函数，求m的范围．
（2）当m=1时，若a＞b＞1，比较f（a^ab^b4^a）与f[（a+b）^a+b]的大小，并说明理由．
（3）当m=1时，设{a_n}为正项数列，且n≥2时[f′（a_n）•f′（a_n-1）+]•a_n²=q，（其中q≥2010），a_n的前n项和为S_n，，若b_n≥2011n恒成立，求q的最小值．

Answer

（1）由f（x）=，知=，x＞0．由f（x）在[1，+∞）上为增函数，知x∈[1，+∞）时，恒成立．由此能导出m的范围．
（2）当m=1时，，x∈[1，+∞）时，，f（x）在[1，+∞）上单调递增，要比较f（aaba4a）与f[（a+b）a+b]的大小，即比较与的大小．由此能推导出f（aabb4a）＞f[（a+b）a+b]．
（3）当m=1时，，且，所以，由恒成立，q≥2010时，数列为单调递减数列，能够推导出若bn≥2011n恒成立，求q的最小值．
【解析】
（1）∵f（x）=，
∴
=，x＞0．
∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，
∴在[1，+∞）上恒大于或等于0，
即：x∈[1，+∞）时，恒成立．
又∵m∈R+，即：mx-1≥0恒成立．即：恒成立．
∴m的范围为：[1，+∞）．…（4分）
（2）当m=1时，，x∈[1，+∞）时，，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
要比较f（aaba4a）与f[（a+b）a+b]的大小，
∵aabb4a＞1，且（a+b）a+b＞1，
即比较aabb4a与（a+b）a+b的大小．
即比较与的大小．
∴-
=alog2a+blog2b+2a-（a+b）log2（a+b）
=alog2a+2a-alog2（a+b）-blog2（a+b）+blog2b，
设g（x）=xlog2x+2x-xlog2（x+b）+blog2b，x∈（b，+∞），
-
=log2x+2-log2（x+b）
=．
∵x＞b，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（b，+∞）单调递增．
且a＞b，
∴g（a）＞g（b），
即：alog2a+2a-alog2（a+b）-blog2（a+b）+blog2b＞0，
∴，
∴f（aabb4a）＞f[（a+b）a+b]．
（3）当m=1时，，
且，
∴，
∴，
∴．
由：=，q≥2010，
∵bn≥2011n恒成立，
即：恒成立，
显然，q≥2010时，数列为单调递减数列，
且，
当q≥2011时，中的每一项都大于2011，
∴恒成立，
当q∈[2010，2011）时，由 数列为单调递减数列，
且，
说明数列在有限项后必定小于2011，
设，
且数列{Mn}也为单调递减数列，M1≥0，
根据以上分析：数列中必有一项，
（设为第k项），（其中Mk≥0，且Mk+1＜0），
∵{Mn}为单调递减数列，
∴+…+
=2011n+M1+M2+…+Mk+Mk+1+…+Mn
≤2011n+kM1+Mk+1+…+Mn
≤2011n+kM1+（n-k）Mk+1，
当n→∞时，kM1+（n-k）Mk+1＜0，
∴，
∴q∈[2010，2011）时，不满足条件．
综上所得：qmin=2011．…（14分）