Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E，F分别为棱
AB，PD的中点．
（ I）在现有图形中，找出与AF平行的平面，并给出证明；
（ II）判断平面PCE与平面PCD是否垂直？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

Answer

（I）应有平面PEC与AF平行．取PC中点G，连EG，GF，可以证出AEGF为平行四边形，得出EG∥AF，所以AF∥平面PEC
（II）应有面PCD⊥面PEC．可以通过证明AF⊥PD，AF⊥CD，得出AF⊥面PCD．由（I）EG∥AF，所以EG⊥面PCD，从而命题成立．
还可以利用空间向量法：
以A为原点AB 为X轴、AD为Y轴、AP为Z轴，建立空间坐标系．
（I）通过证明，平行，得出EG∥AF，所以AF∥平面PEC
（II）分别求出面PCD，面PEC的一个法向量，利用两法向量是否垂直判定两平面是否垂直．
【解析】
（I）平面PEC与AF平行…（1分）
取PC中点G，连EG，GF，
因为F是PD中点，
所以，
在正方形ABCD中，，
所以，
所以AEGF为平行四边形，
所以EG∥AF，所以AF∥平面PEC…（6分）
（II）由PA⊥平面ABCD，所以面PAD，又AF⊂面PAD，
所以CD⊥AF，又△PAD为等腰直角三角形，F为PD中点，∴AF⊥PD，
∵AF⊥面PCD．由（I）EG∥AF，∴EG⊥面PCD，
 又EG⊂面PEC，所以，面PCD⊥面PEC…（12分）
（也可用空间向量法）
（I） 以A为原点AB 为X轴、AD为Y轴、AP为Z轴，建立空间坐标系．…（1分）
易求A（0，0，0），F（0，1，1），G（1，1，1），E（1，0，0），
P（0，0，2），D（0，2，0），C（2，2，0）…（3分），
所以AF∥面PEG．…（6分）
（II） 设面PCD的法向量为=（x，y，z），由D得x=0，y=z．
令，…（8分）
 设面PEC的法向量为，
由得，可令…（10分）
因为，所以，面PCD⊥面PEC…（12分）