Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax，其中a为不大于零的常数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：（n∈N^*，e为自然对数的底数）．

Answer

（1）利用求导法则求出函数f（x）的导函数，把导函数解析式通分化简，根据a为不大于零的常数，分a=0，a小于等于-1，以及a大于0小于-1三种情况分别讨论导函数的正负，并利用二次函数的图象与性质，进而确定函数的单调性；
（2）令a=-1，代入函数解析式，由第一问当a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，可得a=-1时，函数为减函数，故当x大于0时，f（x）小于f（0），而f（0）=0，故f（x）小于0，即ln（1+x2）＜x，所证不等式左边取为e为底数的对数，利用对数的运算性质化简，并根据ln（1+x2）＜x变形，再利用等比数列的前n项和公式化简，得出其中小于1，最后再根据对数的运算性质即可得证．
【解析】
（1），（1分）
①当a=0时，∵f'（x）＞0⇔2x＞0，即x＞0，f'（x）＜0⇔2x＜0，即x＜0，
∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；（3分）
②当，即a≤-1时，f′（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；（5分）
③当-1＜a＜0时，∵f′（x）＞0⇔ax2+2x+a＞0，
f′（x）＜0⇔ax2+2x+a＜0或，
∴上单调递增，
在和上单调递减；  （7分）
综上所述，当a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当-1＜a＜0时，f（x）在上单调递增，
在和上单调递减．
当a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）上单调递减；（8分）
（2）由（1）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0得：ln（1+x2）＜x，（10分）
∴=lne，
∴e（14分）