Question

设a_n是关于x的方程xⁿ+nx-1=0（n∈N^*，x∈（0，+∞））的根．试证明：
（1）a_n∈（0，1）；
（2）a_n+1＜a_n；
（3）a₁²+a₂²+…+a_n²＜1．

Answer

（1）设f（x）=xn+nx-1，由f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，且函数f（x）的图象在（0，+∞）上是连续的，知f（x）在（0，1）上至少有一个零点，即方程xn+nx-1=0在（0，1）内至少有一个根，由此能够证明an∈（0，1）．
（2）法一：由，且函数f（x）的图象在（0，+∞）上是连续的，知f（x）在内至少有一个零点，由函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，知方程xn+nx-1=0在内有唯一根，由此能证明an+1＜an．      （9分）
法二：由ann+nan-1=0，an+1n+1+（n+1）an+1-1=0，得：an+1n+1+（n+1）an+1-ann-nan=0，由此利用反证法能够证明an+1＜an．
（3）由题设得，，当n∈N*时，．故．由此能够证明a12+a22+…+an2＜1．
证明：（1）设f（x）=xn+nx-1，
∵f（0）=-1＜0，f（1）=n＞0，
且函数f（x）的图象在（0，+∞）上是连续的，
∴f（x）在（0，1）上至少有一个零点，
即方程xn+nx-1=0在（0，1）内至少有一个根．（3分）
∵x∈（0，+∞），
∴f′（x）=nxn-1+n＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴方程xn+nx-1=0在（0，+∞）内有唯一根，
且根在（0，1）内，即an∈（0，1）．（5分）
（2）方法一：∵，
且函数f（x）的图象在（0，+∞）上是连续的，
∴f（x）在内至少有一个零点，
即方程xn+nx-1=0在内至少有一个根．
又由（1）知函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴方程xn+nx-1=0在内有唯一根，
∴．（8分）
∴，
∴an+1＜an．      （9分）
方法二：由（1）知，ann+nan-1=0，
an+1n+1+（n+1）an+1-1=0，
两式相减得：an+1n+1+（n+1）an+1-ann-nan=0，（7分）
若存在n∈N*，使得an+1≥an，
则an+1≥an＞ann，
从而an+1n+1+（n+1）an+1-ann-nan＞（n+1）an+1-ann-nan=an+1-ann+nan+1-nan＞0，矛盾．
所以an+1＜an．（9分）
（3）由题设得，，
当n∈N*时，．
∴． （12分）
当n≥3时有a12+a22+a32+…
…
=
=．
综上a12+a22+…+an2＜1．               （14分）