Question

已知函数f（x）=sinxcosx-sin²x+，x∈R，
（I）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时自变量x的集合；
（Ⅱ）设g（x）=f（x+），试判断函数g（x）的奇偶性．

Answer

（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）=sinxcosx-sin2x+，x∈R，转化为f（x）=sin（2x+），从而可求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时自变量x的集合；
（2）求得g（x）=f（x+）=cos2x，再用奇偶函数的定义判断．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx-sin2x+=sin2x+cos2x=sin（2x+），
∴函数f（x）的最小正周期T=π …（4分）
当2x+=2kπ+（k∈Z），即x=kπ+（k∈Z）时，f（x）max=1，
∴当f（x）取得最大值时自变量x的集合为{x|x=kπ+，k∈Z}； …（2分）
（Ⅱ）g（x）=f（x+）=sin[2（x+）+]=cos2x，…（3分）
又g（-x）=cos（-2x）=cos2x=g（x），
∴g（x）是偶函数． …（3分）