Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且PD⊥平面ABCD，PD=AB=1，EF分别是PB、AD的中点，
（I）证明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-CE-F的大小．

Answer

（Ⅰ）以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴、DC所在的直线为y轴、DP所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），E（），F（），，平面PCD的一个法向量为．由此得到．由EF⊄平面PCD，知EF∥平面PCD．
（Ⅱ）由，，得EF⊥PC，EF⊥PB，由PB，PC是平面PCD内的两条相交线，知EF⊥平面PBC，由EF⊂平面EFC，知平面PBC⊥平面EFC，由此能求出二面角B-CE--F的大小．
【解析】
（Ⅰ）以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴、DC所在的直线为y轴、DP所在的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴E（），F（），，
平面PCD的一个法向量为．
∵=0，
∴．
∵EF⊄平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）∵，，
，
，
∴EF⊥PC，EF⊥PB，
∵PB，PC是平面PCD内的两条相交线，
∴EF⊥平面PBC，
∵EF⊂平面EFC，
∴平面PBC⊥平面EFC，
∴二面角B-CE--F的大小为．