Question

在等差数列{a_n}中，已知a₄=-3，且a₁-2、a₃、a₅成等比数列，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的公差d；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求S_n的最值．

Answer

（Ⅰ）由题意可得a1=-3-3d，a3=-3-d，a5=-3+d，（-3-3d）2=（-3-3d-2 ）（-3+3d ），解方程求得d的值．
（Ⅱ）根据d的值求出数列的通项公式，由数列的通项公式判断数列的单调性，从而求出它的最值．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得 a1=-3-3d，a3=-3-d，a5=-3+d．
∵=（a1-2 ）a5 ，
∴（-3-d）2=（-3-3d-2 ）（-3+3d ）．
解得 d=1，或d=-．
（Ⅱ）①当d=1 时，an=-3+（n-4）d=n-7，故此数列为递增数列．
令 an=0 可得 n=7，故当n=6 或n=7时，Sn 取得最小值为-21，且Sn 不存在最大值．
②当 d=-时，an=-3+（n-4）（-）=- n+3，故此数列为递减数列．
令an=0 可得 n=2，故当n=1 或n=2时，Sn 取得最大值为 ，且Sn 不存在最小值．