Question

已知椭圆的两个焦点F₁（0，1）、F₂（0，1）、直线y=4是它的一条准线，A₁、A₂分别是椭圆的上、下两个顶点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设以原点为顶点，A₁点的抛物线为C，若过点F1的直线l与C交于不同的两点M、N，求线段MN的中点Q的轨迹方程．

Answer

（Ⅰ）设椭圆方程为，由题意，得，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设抛物线C的方程为x2=2py，p＞0．由，得p=4．故抛物线C的方程为x2=8y，设线段MN的中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+1，由，得x2-8kx-8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8k，x1x2=-8．故，代入直线l的方程，得y=k•4k+1=4k2+1，由此能求出点Q的轨迹方程．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为，
由题意，得，
∴a2=4，b2=4-1=3，
∴所求椭圆方程； …（5分）
（Ⅱ）设抛物线C的方程为x2=2py，p＞0．
由，得p=4．
∴抛物线C的方程为x2=8y，
设线段MN的中点Q（x，y），直线l的方程为y=kx+1，
由，得x2=8kx+8，
即x2-8kx-8=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），
则有x1+x2=8k，x1x2=-8．
∴，
代入直线l的方程，得y=k•4k+1=4k2+1，
由，消去k，得，
即x2=4（y-1），
∴点Q的轨迹方程是x2=4（y-1）．