Question

设函数其中b＞0，c∈R．当且仅当x=-2时，函数f（x）取得最小值-2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若方程f（x）=x+a（a∈R）至少有两个不相同的实数根，求a取值的集合．

Answer

（1）注意关键字：当且仅当x=-2时，函数f（x）取得最小值-2，说明表达式中的二次函数图象关于直线x=-2对称，并且f（-2）=-2，由此可得出b、c的值，从而得到函数f（x）的表达式；
（2）作出函数y=f（x）的图象，再作出直线l：y=x+a，通过先求出两图象恰有两个不同公共点的临界位置，再平移直线，根据直线在y轴上截距的取值范围，最后求得a取值的集合．
【解析】
（1）∵当且仅当x=-2时，函数f（x）取得最小值-2
∴二次函数y=x2+bx+c图象关于直线x=-2对称且f（-2）=-2
可得⇒
∴函数f（x）的表达式为
（2）同一坐标系里，作出函数y=f（x）的图象和直线l：y=x+a，可得：
①当a=2时，直线l与y=f（x）的图象有两个不同的公共点，
②将直线向下平移至两图象相切，此时由x2+4x+2=x+a得
x2+3x+2-a=0，根的判别式△=9-4（2-a）=0，⇒a=-
综合①②这两种特殊位置，可得当-≤a≤2时，直线l在图中两条件平行线之间运动（含边界）
此时两图象有两个或三个公共点，相应地方程有至少两个不相同的实数根
所以a取值的集合是：