Question

已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F₁，F₂，P，在椭圆E上，且PF₁⊥F₁F₂，|PF₁|=，|PF₂|=．
（1）求椭圆E方程；
（2）若直线l过圆M：x²+y²+6x-2y=0的圆心M，交椭圆E于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程．

Answer

（1）由题意可知2a=|PF1|+|PF2|=10，a=5，，由此可求出椭圆C的方程．
（2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．由题意x1≠x2分别代入椭圆的方程后作差，结合点差法再利用A、B关于点M对称，所以x1+x2=-6，y1+y2=2，代入③得直线l的斜率，由此可求出直线l的方程．
【解析】
（1）因为点P在椭圆C上，所以2a=|PF1|+|PF2|=10，a=5．
在Rt△PF1F2中，，
故椭圆的半焦距c=4，
从而b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的方程为 =1．
（2）已知圆的方程为（x+3）2+（y-1）2=5，
所以圆心M的坐标为（-3，1）．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由题意x1≠x2且 ，①，②
由①-②得 ．③
因为A、B关于点M对称，
所以x1+x2=-6，y1+y2=2，
代入③得 =，
即直线l的斜率为 ，
所以直线l的方程为y-1=（x+3），
即27x-25y+106=0．