Question

四边形ABCD是梯形，•=0，与共线，A，B是两个定点，其坐标分别为（-1，0），（1，0），C、D是两个动点，且满足|CD|=|BC|．
（Ⅰ）求动点C的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线BC与动点C的轨迹E的另一交点为P，过点B且垂直于BC的直线交动点C的轨迹E于M，N两点，求四边形CMPN面积的最小值．

Answer

（Ⅰ）由•=0，与共线可知四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，对称轴为x轴的抛物线．由此能求出动点C的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设直线BC方程y=k（x-1），由，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，设P（x1，y1），C（x2，y2），由韦达定理结合题设条件能求出四边形CMPN面积的最小值．
【解析】
（Ⅰ）由•=0，与共线可知，
四边形ABCD是直角梯形，且CD⊥DA，又|CD|=|BC|，
所以动点C的轨迹为以B为焦点，DA为准线，
对称轴为x轴的抛物线．
设动点C的轨迹E的方程y2=2px（p＞0），
则p=|AB|=2
所以动点C的轨迹E的方程是y2=4x（x≠0，x≠1）…（3分）
（Ⅱ）设直线BC斜率为k，
由题意知，k存在且k≠0，
直线BC的方程y=k（x-1）
依题意，
∴k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
设P（x1，y1），C（x2，y2）
则，x1x2=1，

直线MN垂直于直线BC，
以-替代上式中的k，得|MN|=4（k2+1）…（7分）
∴
=
=
=
=
∵
四边形CMPN面积的最小值等于32． …（12分）