Question

设椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），直线l：x=a²交x轴于点A，且．
（Ⅰ）试求椭圆的方程；
（2）过F₁、F₂分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点（如图所示），若四边形DMEN的面积为，求DE的直线方程．

Answer

（I）由已知中椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），x=a2交x轴于点A，且，可得F2为AF1的中点，进而求出a2，b2的值后可得椭圆的方程．
（II）分析讨论直线DE与x轴垂直和MN与x轴垂直及直线DE，MN均与x轴不垂直时，满足四边形DMEN的面积为的条件，进而得到DE的直线方程．
【解析】
（Ⅰ）∵椭圆（a＞b＞0）的焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），
∴||=2c=2，
∴c=1
∵直线l：x=a2交x轴于点A，
∴A（a2，0）----------（1分）
∵为AF1的中点------------（2分）
∴a2=3，b2=2------------（3分）
即：椭圆方程为------------（4分）
（2）当直线DE与x轴垂直时，|DE|=2=，此时|MN|=2a=2，
四边形DMEN的面积S==4不符合题意故舍掉；------------（5分）
同理当MN与x轴垂直时，也有四边形DMEN的面积积S==4不符合题意故舍掉；------------（6分）
当直线DE，MN均与x轴不垂直时，
设DE：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0------------（7分）
设D（x1，y1）、E（x2，y2），则------------（8分）
所以|x1-x2|==，------------（9分）
所以|DE|=•|x1-x2|=，------------（10分）
同理|MN|==------------（12分）
所以四边形的面积S==••=
由S==2或k2=⇒k=±，
所以直线lDE：=0或lDE：=0或lDE：=0或lDE：=0-------（14分）